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数学与语言一样，伴随着人类的起源，是人类起源过程中的产物。这是因为，人是一种有思想的动物，既然有思想，必然会产生数字和数字运算的概念。例如：手指头、脚趾头就是长在每个人身上的自然数，而一共有几个的概念，则是加法的结果。从此，数学随着人类的发展而发展。人类精准发达的大脑，从观察，敬畏，探索，探测，一直到要弄个明白为止，而越是弄，则越是不明白。这还不算，还要在茫茫的宇宙中，寻找同类，费尽脑汁苦苦的寻找，哪怕是找到一丁点生命的迹象，也是好的。可是，宇宙中生命的迹象倒还没有找到，而用于精准杀戮同类的武器，则发明了不少。
然而，人类在自然界中的一切活动，全都离不开数学，哪怕是最简单的计数。不过，至少到目前为止，世界上还存在着许多民族，尽管他们没有文字，但必定有数和数的概念，以及计数的方法。可是，人类虽然具备了精准的大脑，遗憾的则是，能够把数的概念和计算的方法，最终发展成为专门学科的民族，即：具备数学的民族，却是屈指可数的。值得庆幸的是，我们民族的祖先华夏人，是世界上屈指可数的几个民族之一。
数学的概念和方法，是客观世界在人的大脑中，逐渐形成建立起来的，然后，人们用固定的符号（数字）和约定（计算）的方法，加以演算以及推理。于是，我们惊人的发现，不同的民族，虽然固定的符号有所不同，但是约定（计算）的方法，却是惊人的一致，譬如：十进制、六十进制、加法，乘法等。我们的祖先采用的是十进制，不过也有例外，例如：古（秦）杆秤十六两制，即：十六两等于一斤。这种杆称直到上世纪五十年代，民间还有人使用。后来，被十两制的杆秤所完全取代。
既然有了约定，就要遵守约定，按约定的规则做。既然大家约定了这种东西叫做马，那么，大家都应叫这种东西为马。倘如一定要指鹿为马，那是十分的荒唐，因为鹿是另一种东西。不过，任何事物都有其存在的客观。假如客观上，有的人力道比我大，硬要我把马说成鹿，我也没有办法，不然的话，将惹上杀身之祸。反过来，假如我的力道比你大，非要你把鹿说成马，你又奈何于我？于是，就有了所谓的捣浆糊，而所谓的捣浆糊，大概属于台湾柏杨先生所说的酱缸文化之类。当然，悖论除外。
悖论与浆糊的最大不同之处是，浆糊是以人的力道为基础，悖论的基础则是逻辑，而逻辑是人的思维（抽象思维）。例如：假设我们所处的空间和经历的时间，是无限连续的，于是有了如下的龟兔赛跑悖论：
在无限的连续时空中，甲乙两人看乌龟和兔子一起赛跑，甲说兔子跑得快，理由是：兔子始终跑在乌龟的前面；乙说乌龟跑得快，理由是：兔子要追上乌龟，兔子首先必须到达乌龟的出发点，而兔子始终达不到。
这就是古希腊著名的龟兔赛跑悖论。如果我们把无限的连续时空换成无限的离散时空，那么在一段有限的距离内，兔子肯定比乌龟跑得快，除非兔子跑到半路睡觉而不跑了，乌龟倒是可以赶上的，但前提必须是，乌龟决不能睡觉。
人们因为有了思想，才会出现悖论。因为有了悖论，人们才会不断的思想，理性地不断地去思想，设法完善。靠力道的人，无法服人。那个指鹿为马的始作俑者，秦朝大力道者丞相（原宦官）赵高，终于被秦三世子婴所杀，尽管秦三世子婴只做了46天的秦朝最高统治者。
指鹿为马的故事，发生在公元前208年左右的中国秦朝。龟兔赛跑的悖论，出自于古希腊亚里士多德（公元前384322年）所著的《物理学》一书。
然而，数学是严密的。人类的初期，规定了数字：即自然数和自然数组成的分数，这些数都是可以公度的；运算随之产生，即四则运算。并且将这些数，经过四则运算后，仍然是这些数，只是数值不同而已。虽然因为减法而产生了负数，但也是可以公度的，没有什么浆糊可捣。可是，问题还是不少。当古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前约572497年）证明了，以他命名的毕达哥拉斯定理后（我国称为勾股定理），才知道：直角三角形斜边长的值，等于相邻两条直角边的平方之和再开平方。
于是，问题来了，并不是所有的数，开平方后都是可以公度的。勾股定理中的勾三、股四、弦五是个特例。一个可以公度的数，经过开平方，通常多为不可公度的。换言之，在一个两条直角边长可以公度的直角三角形中，它的一条斜边的长，可以是不可公度的。于是，出现了不可公度的数。
因为出现了不可公度的数，这个数又是在几何中出现，几何还是比较直观的，例如直角三角形中斜边的长。所以，当时的人自然要问：这条不可公度的斜边，真的存在吗？假如存在，那为什么不可公度；是用于公度的尺没有制造出来，还是根本就没有这种尺。
原本可以用自己的手指头、脚趾头来表达的数字，经过自己严密的逻辑推理和演算后，所得到的数，却变得不再可以用，自己的手指头、脚趾头来表达了，即不可公度的了。这是人们先前所没有预料到的。这到底是逻辑推理出了问题，还是自己的认识出了问题。要解决这个问题，恐怕单靠力道是不会有理想结果的。
我静静地坐在书桌边，深情地望着书桌旁的书架，书架上摆满了一摞摞的书。这些书，仅仅是伴随着我幸存下来的那些书，有的是我年轻时读过的书；有的是我年轻时做科研的参考书及参考文献；有的则是，父母亲年轻时读过的书，他们认为对我有用，介绍给我读的，后来就留给了我；另外的一摞是杂志社赠送的科技文献，每本科技文献中都有我，年轻时发表的研究论文。
我面对浩瀚的学问，知之甚少，学无止尽。尽管知之甚少，我还是写下了我的所知、所想。我想，今年的文章，还是从数学写起。
二0一二年一月
发布时间：2022-12-30 04:14
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